Formelsammlung

Rolfs Formelsammlung mit Java-Applet um Zahlenbeispiele zu rechnen.

(mit den meisten neueren Browsern funktioniert Java leider nicht mehr)

Anmerkungen:
- Da das Wurzelzeichen in HTML nicht immer korrekt dargestellt werden kann, wird zum Teil noch sqrt() verwendet.
- Statt e^x wird manchmal exp(x) geschrieben.
- Da seit der Neudefinition der Loschmidtschen Zahl (1986) nicht mehr klar ist ob jetzt Teilchen pro Molvolumen oder Teilchen pro Milliliter gemeint sind, wird jetzt nur noch die Bezeichnung Avogadrozahl benutzt. Ist exakt das gleiche wie früher die Loschmidtsche Zahl, nämlich Anzahl Teilchen pro Mol.

Rechnen mit Einheiten , magische Zahlen , Griechische Buchstaben
Stichwort-Suche , neue Formeln , Fehlerreport

Physik

Mechanik

Geschwindigkeit

v =	ds

	dt

  ds=zurückgelegte Strecke  dt=gebrauchte Zeit  v=Geschwindigkeit

a =	dv

	dt

  dv=Geschwindigkeitsänderung in der Zeit dt    a=Beschleunigung

Beschleunigungskraft

F = a·m

  a = Beschleunigung   m = beschleunigte Masse

Zentripetalkraft (Zentrifugalkraft)

F_z =	m·v²

	r

  m = Masse   v = Geschwindigkeit   r = Rotationsradius
  Zahlenbeispiel

Gravitation (Schwerkraft)

siehe Astronomie->Gravitation

Schwingungsdauer eines Pendels

T = 2

·sqrt(L/g)·R

R = 1 + (1/2)² · sin²(a/2) + (1/2 · 3/4)² · sin⁴(a/2) + ...

R = Korrekturfaktur für grosse Pendelauslenkung
a = Winkel der Maximalauslenkung
L = Pendellänge (Aufhängung bis Schwerpunkt)
g = Erdbeschleunigung

Energie

E = F·s		F=Kraft, s=zurückgelegter Weg (Beispiel: Hubarbeit)
E = m·v²/2		m=Masse, v=Geschwindigkeit
E = m·c²		c=Lichtgeschwindigkeit, m=Masse (z.B. bei Kernreaktion umgesetzte Masse)
E = h·ν		Plancksche Formel
E = U·I·dt		in der Elektronik

  Zahlenbeispiele

Leistung

P = dE/dt
P = U·I	(in der Elektronik)

  dE=umgesetzte Energie
  dt=Zeitdauer

Elektronik

Ohmsches Gesetz, Leistung, Energie

U = R·I		Ohmsches Gesetz
P = U·I		Leistung
E = P·t		Energie

  U=Spannung (Volt)
  R=Widerstand (Ohm 1Ω=1V/1A)
  I=Strom  (Ampere)
  P=Leistung (Watt 1W=1V*1A)
  t=Zeit (Stunden h, oder Sekunden s)
  E=Energie (Wattstunden 1Wh=1W*1h, oder Joule 1J=1W*1s)

Zahlenbeispiele

Strommenge und Kapazität

Q = I·t		Strommenge
C = Q/U		Kapazität

  Q=Strommenge (Coulomb: 1C=1As)
  C=Capazität (Farad: 1F=1As/V=1C/V)
  t=Zeit (in Sekunden)

Ein Coulomb ist die Strommenge wenn 1 Ampere 1 Sekunde lang fliesst.
Ein Kondensator hat eine Kapazität von 1 Farad wenn er eine Strommenge von 1 Coulomb pro Volt speichern kann.

Es ist etwas verwirrend, dass das Formelzeichen für Kapazität das gleiche Symbol (C) hat wie die Einheit der Strommenge (Coulomb). Eine weitere Verwirrung ergibt sich weil das Formelzeichen der Faraday-Konstanten das gleiche Symbol (F) hat wie die Einheit der Kapazität (Farad).

Elektrolyse

Q = n·k·F

  n=Stoffmenge (in mol)
  k=Anzahl benötigte Elektronen pro Molekül
  F=Faraday-Konstante (96485 As/mol = 26.802 Ah/mol)

Die Elektrolytische Umsetzung von n Mol einer Substanz braucht also eine Strommenge von Q Amperesekunden.
Beispiel: Wenn 10 mMol Nitrobenzol mit 1A reduziert werden sollen braucht man 0.01*4*26.8 = 1.07 Stunden.

Wechselstrom

P = U·I·cos(φ)

Q = U·I·sin(φ)

  P=Wirkleistung
  Q=Blindleistung
  S=U·I=Scheinleistung
  φ=phi=Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom
  cos(φ)=P/S (=Wirkungsgrad?)

Barometrische Höhenformel

h = T/k · ln(p₀/p)

p = p₀ · e^{(-k/T · h)}

h =	Höhe ueber Referenzpunkt
p =	aktueller Druck bei Höhe h
p₀ =	aktueller Druck bei Referenzpunkt (z.B. Meereshöhe)
T =	Temperatur in Grad Kelvin
k =	Konstante nach folgender Formel:

k =	r₀·T₀·g	= 0.03417 (für trockne Luft)

	p₀₀

T₀ =	Normaltemperatur (273 K)
p₀₀ =	Normaldruck (1013mbar) (durchschnittlicher Druck auf Meereshöhe)
r₀ =	Dichte der Luft bei T₀ und p₀₀
g =	Erdbeschleunigung (9.80665 m/s²)
	Zahlenbeispiel
	Herleitung der Formel

Relativitätstheorie

Lorentztransformation

Wenn zwei Koordinatensysteme K(x,y,z) und K'(x',y',z') sich gegeneinander mit der Geschwindigkeit v entlang der x-Achse bewegen gilt:

t' =	β·(t - v/c² · x)
x' =	β·(x - v·t)
y' =	y
z' =	z

  t  = Zeit gemessen in K
  t' = Zeit gemessen in K'

β =	1

	√(1-(v/c)²)

  c = Lichtgeschwindigkeit

Energie einer schnell bewegten Masse

E =	(β-1)·m·c²

Addition von Geschwindigkeiten

v =	v1 + v2

	1 + v1·v2/c²

Wenn beide Geschwindigkeiten viel kleiner als Lichtgeschwindigkeit, wird daraus in guter Näherung v=v1+v2.

Optik, Spektroskopie

Plancksche Formel

E = h·ν = h·c/

  h = Plancksche Konstante (Wirkungsquantum)
  ν = Frequenz (Anzahl Wellen pro Sekunde)
  λ = Wellenlänge
  c = Lichtgeschwindigkeit
  E = Energie eines Photons (Lichtquants)

Zahlenwertgleichung: E = 0.002857· $\nutilde$

$\nutilde$	= Wellenzahl in cm^-1 (Anzahl Wellen pro Zentimeter)
E	= Energie in kcal/mol
	Zahlenbeispiele

Schwarzkörperstrahlung

E( $\nu$ ) =	2 $\pi$ h $\nu$ ⁵	·	1

	c³		e^h/kT - 1

  k = Boltzmann-Konstante
  T = Temperatur in Grad Kelvin
  h, ν, c  gleiche Bedeutungen wie in Plancksche Formel
  Zahlenbeispiel

Refraktometrie (Brechung)

n =	sin(α)	=	c₁	Snelliussches Gesetz

	sin(β)		c₂

n =	Brechungsindex
α =	Einfallswinkel zwischen Lot und Strahl
β =	Ausfallswinkel zwischen Lot und Strahl
c₁ =	Lichtgeschwindigkeit im ersten Medium
c₂ =	Lichtgeschwindigkeit im zweiten Medium
	Zahlenbeispiele

Beer-Lambert Gesetz

OD = ε·c·d = -log(T) = -log(I/I₀)

c = Konzentration in mol/l

d = Schichtdicke in cm

ε = Extinktionskoeffizient in l/(mol*cm)

I = Intensität nach der Probe

I₀ = Intensität vor der Probe

Umrechnung von Druck in Konzentration

c = 0.0160·P/T

Zahlenwertgleichung für ein ideales Gas


  c = Konzentration in mol/l
  P = Druck in Torr
  T = Temperatur in Grad Kelvin
  Zahlenbeispiele

Absorptionsquerschnitt (Absorption Cross Section)

σ·c·d = -ln(I/I₀)

  c = Konzentration in Moleküle/cm³
  d = Schichtdicke in cm
  σ = Absorptionsquerschnitt in cm²/Molekül

Umrechnung von Extinktionskoeffizient in Absorptionsquerschnitt

σ = ε·1000·ln(10)/N_A = ε·3.8235·10^-21

N_A = Avogadrozahl (6.022·10²³)

Optische Drehung

Optisch aktive Moleküle können linear polarisiertes Licht drehen. Der Drehwinkel ist proportional zur Konzentration und Schichtdicke.

α_D =	α

	L·c

α	=	gemessener Winkel
L	=	Schichtdicke in dm
c	=	Konzentration in g/ml
α_D	=	Drehwinkel auf Schichtdicke 1dm und Konzentration 1g/ml normiert
D	=	Natrium-D Linie = 589nm
		(α ist stark Wellenlängenabhängig, sogar das Vorzeichen kann wechseln!)
		(da es auch noch Temperaturabhängig ist, wird diese meist auch mit angegeben [α]^t_D )

IR-Schwingungen

Berechnung der Frequenz einer Streckschwingung. Diese Formel gilt eigentlich nur für zweiatomige Moleküle, aber kann auch als Näherungsformel in grösseren Molekülen verwendet werden.

$\nutilde$ = √(K·(m₁+m₂)/(m₁·m₂)) · 1303cm^-1

$\nutilde$	=	Frequenz in Wellenzahlen
K	=	Kraft zwischen den beiden beteiligten Atomen in mdyn/Angström
		(kann mit etwa 5.5 mdyn/Angström pro Bindung geschätzt werden)
m₁	=	Masse des ersten Atoms
m₂	=	Masse des zweiten Atoms

Verschiebung der Frequenz einer Streckschwingung beim Einsetzen eines Isotops:

ν^# =	√	m₁·(m₁^#+m₂)	· ν

		m₁^#·(m₁+m₂)


  Zahlenbeispiele

Reduzierte Masse:      Damit werden obige Formeln etwas einfacher:

NMR, KernresonanzSpektroskopie

Karplus-Gleichung

Dies ist eine Empirische Formel zur Darstellung der Beziehung zwischen Dihedralwinkel (auch Diederwinkel genannt) und ³J-Aufspaltung im NMR-Spektrum.

Originalformel von Karplus:

J =	{	8.5 cos² - 0.28	0<<90^o
		9.5 cos² - 0.28	90<<180^o

Neuere Variante1:

J = A₁ + B₁cos

+ C₁cos²

Neuere Variante2:

J = A₂ + B₂cos

+ C₂cos(2

)

Bei verschiedenen Atomen oder unterschiedlicher chemischer Umgebung werden unterschiedliche Parameter verwendet.
Die beiden Formelvarianten werden oft verwechselt. Parametersätze die im Internet zu finden sind, können also zu der einen oder andern Formel gehören. Manchmal sind auch noch A und C vertauscht.
Umrechnung der Parameter:

A₂ = A₁ + C₁/2	C₂ = C₁/2	B₂=B₁
A₁ = A₂ - C₂	C₁ = 2C₂	B₁=B₂

Einige Parametersätze:

Atome	A₁	B₁	C₁
HCCH	-0.28	-0.5	9.0
HNCH	1.9	-1.4	6.4
HNCH	2.5	-1.2	6.8

Zahlenbeispiele

TMS-Kalibrierung

I_H =	I_TMS·C

	C_TMS·12

C	= Konzentration in mol/l
C_TMS	= TMS-Konzentration in mol/l
I_TMS	= Integral des TMS-Peaks
I_H	= Integralwert für ein H

Wenn die TMS-Konzentration gleich 1 Volumenprozent ist:

I_H = 1.129·I_TMS·C

Viskosität

Wenn wir eine Flüssigkeit durch eine Kapillare laufen lassen gilt:

η = D·G·t

  η = Viskosität
  D = Dichte der Flüssigkeit
  G = Gerätekonstante (Dicke, Länge der Kapillare, durchgeflossene Menge)
  t = Durchflusszeit

Das mittlere Molekulargewicht eines gelösten Polymers ist:

M = (w₀/K)^1/a

w =	η - η₀	~=	t - t₀

	η₀·c		t₀·c

η	=	Viskosität der Lösung
η₀	=	Viskosität des reinen Lösungsmittels
t	=	Durchflusszeit der Lösung
t₀	=	Durchflusszeit des reinen Lösungsmittels
c	=	Konzentration in g/ml
w	=	reduzierte spezifische Viskosität = η_sp/c
w₀	=	Approximierter Wert von w bei c=0
		(Andere Bezeichnungen: [η], Staudingerindex, Grenzviskosität, intrinsic viscosity)
K	=	Konstante die von Molekül und Lösungsmittel abhängig ist
a	=	weitere von Molekül und Lösungsmittel abhängige Konstante

Der zweite Teil der w-Gleichung ist eine Näherung und stimmt nur wenn die Dichte der Lösung nicht stark von der Dichte des reinen Lösungsmittels abweicht (also für kleine Konzentrationen). Um w₀ zu erhalten werden mehrere Messung bei verschiedenen Konzentrationen gemacht, w gegen c aufgetragen, und mit einer Ausgleichsgeraden der Wert bei c=0 ermittelt.
Die empirisch bestimmten Werte a und K sind zum Teil in Tabellen zu finden. a liegt meist zwischen 0.5 und 2.0.
Beispiele:

Substanz	Lösungsmittel	K	a
Polystyrol	CHCl₃	0.0112	0.73
PBLG	DCA	2.78e-3	0.87
PBLG	DCA	1.747e-3	0.886	(eigne Messung)
Polyalanin	DCA	0.364	0.672

Gasgesetz

p·V = n·R·T

  p = Druck in Pascal
  T = Temperatur in Kelvin
  V = Volumen in m³ (1 Kubikmeter = 1000 Liter)
  n = Molzahl (= Anzahl Teilchen / N_A)
  R = Gaskonstante = 8.315 J/mol/K
      (Wenn p in mbar und V in Liter: R=83.15 mbar*l/mol/K)
  Zahlenbeispiele

Kann auch als p*V=N*k*T geschrieben werden. (mit N=Anzahl Teilchen, und k=Boltzmann-Konstante)

Geschwindigkeitsverteilung

Die Geschwindigkeitsverteilung der Moleküle (Atome bei Edelgas) in einem idealen Gas ist:

f(s) = k1·s² · exp(-k2·s²)

  k1 = 4Pi*(M/(2PiRT))^1.5
  k2 = M/(2RT)
   M = Molmasse in kg/mol
   R = Gaskonstante in J/mol/K
   T = Temperatur in K

Dabei ist s die Geschwindigkeit in m/s. Die Funktion f(s) ist so definiert, dass die Wahrscheinlichkeit dass ein Teilchen eine Geschwindigkeit zwischen s und s+ds hat, gleich f(s)*ds ist.

Der Mittelwert (quadratisches Mittel) der Teilchengeschwindigkeiten ist:

Sq = sqrt(3·R·T/M)

Thermodynamik

Temperaturskalen

Kelvin:

0 K = absoluter Nullpunkt (Moleküle bewegen sich nicht mehr),
273.16 K = Temperatur beim Tripelpunkt von Wasser.
Beim Tripelpunkt stehen Feste-, Flüssige- und Gasförmige-Phase eines reinen Stoffs im Gleichgewicht. Beim Wasser ist das dann eben bei 0.01^oC und etwa 6.107mbar der Fall. (Man beachte dass das für einen _reinen_ Stoffs gilt, die Luft muss man also abpumpen um den Tripelpunkt zu messen.)

Celsius:

Ursprüngliche Definition: 0^oC = Schmelzpunkt, 100^oC = Siedepunkt von Wasser bei Normaldruck (1bar).
Neue Definition: 0^oC = 273.15 K, Differenzen in Celsius = Differenzen in Kelvin
(da der Tripelpunkt von Wasser als 273.16 definiert wurde ist der Schmelzpunkt von Wasser bei 1bar immer noch ziemlich genau bei 0^oC)

Farenheit:

Ursprüngliche Definition: 100^oF = Körpertemperatur, 0^oF = Temperatur der Ammonium-Wasser-Eis Kältemischung

 F = C*9/5+32
 C = (F-32)*5/9

Zahlenbeispiele Temperatur-Umrechnungen

Wärmemenge

dQ = dT·k·m

  Q = Wärmemenge (Energiemenge)
 dQ = Änderung der Wärmemenge bei Änderung der Temperatur um dT
      (dabei sollte dT so klein sein dass sich k nicht ändert)
  k = Wärmekapazität (Energiemenge um 1 Gramm um 1 Kelvin zu erwärmen)
      (ist stark Stoffabhängig und wenig Temperaturabhängig)
  m = Masse (in Gramm)

Zahlenbeispiel: die Wärmekapazität von Wasser ist 4.1868 Joule/g. Wieviel Energie braucht man um 1l Wasser von 20^o auf 100^oC zu erwärmen? (k für Wasser ist eigentlich bei 4^oC, stimmt aber auch zwischen 0 und 100^o ziemlich gut)

Entropie

  dS = dQ/T

  S=Entropie
  Q=Wärmemenge

Wärmekapazität von idealem Gas

Bei Gasen gibt es zwei verschiedene Wärmekapazitäten. Bei konstantem Volumen wird die molare Wärmekapazität c_v genannt, bei konstantem Druck hingegen ist es c_p. Dabei ist c_p grösser, da noch die mechanische Energie P*dV dazukommt.
Für Edelgase gilt:

  c_v = 3/2 * R
  c_p = c_v + R

Einheit ist jeweils J/mol/K
Obige Formeln lassen sich leicht aus dem Gasgesetz herleiten.

Formel für nicht ideale Gase:

c_v = f/2 · R

  f = Freiheitsgrad, 3 für Edelgase, 5 oder mehr für alle andern

Der Freiheitsgrad ist stark Stoff- und Temperatur-abhängig.

Adiabatische Kompression eines Gases

Mit adiabatisch ist gemeint, dass es keinen Wärmeaustausch (Energieaustausch) zwischen dem Gas und der Umgebung gibt. Das ist natürlich eine idealisierte Vorstellung, da in der Realität ein Wärmeaustausch nicht vollständig verhindert werden kann.

T₂	=	(	V₁	)	^(k-1)

T₁			V₂

 k = Isentropenexponent (Kappa)
 f = 2/(k-1) = Freiheitsgrade, f=3 bei einatomigem Gas, f=5 bei 2-atomigem Gas (z.B. N₂)

Bei Edelgasen (ideales Gas) ist f=3 und k-1 ist somit 2/3

Zahlenbeispiel: Wenn Stickstoff von Raumtemperatur um einen Faktor 10 komprimiert wird, wie warm wird er dann?

Chemie

Molekulargewicht

Das Molekulargewicht eines Moleküls wird berechnet indem einfach die Werte der einzelnen Atome addiert werden.
Tips:
Gross/Klein-Schreibung ist wichtig!
Peptide können auch eingegeben werden.
Ohne Schutzgruppe am Anfang muss ein H- mitangegeben werden, ohne Schutzgruppe am Ende brauchts ein -OH. (z.B. H-Ala-OH)
Beispiel: Boc-Ala-Gly-OH sollte 246.263 (246.121) ergeben.
Hier noch eine kleine Dokumentation als Textdatei.
Man kann das Programm auch lokal (unter Linux oder auf Palm) installieren: MG-Rechner

Pufferlösungen

Ein Puffer ist eine wässrige Lösung, die versucht den pH-Wert konstant zu halten.

pH = pKs + log(A^-/HA) = pKs + log(A^-) - log(HA)

  pH  = negativer Logarithmus der Wasserstoffionenkonzentration (pH-Wert)
  pKs = Säurekonstante
  A-  = Konzentration des basischen Anteils (in mol/l)
  HA  = Konzentration der Säure (in mol/l)

Beispiele: Acetatpuffer
Natriumacetat und Essigsäure in gleichen Mengen (Anzahl Mol) in Wasser gelöst ergibt einen Puffer mit pH 4.76 (pKs ist 4.76 und A^- ist gleich HA).

D₂O-Gehalt

Die Dichte von einer D₂O-H₂O-Mischung ist:

D = (N1*M1+N2*M2) / (N1*V1+N2*V2)

Der Mol-Anteil von D₂O in einer Mischung mit Dichte D ist:

N1 = (M2-V2*D) / ((V1-V2)*D-(M1-M2))

  N1 = Molanteil von D2O
  N2 = Molanteil von H2O
  M1 = Molmasse von D2O
  M2 = Molmasse von H2O
  D1 = Dichte von reinem D2O
  D2 = Dichte von reinem H2O
  V1 = M1/D1 = Molvolumen von D2O
  V2 = M2/D2 = Molvolumen von H2O

 Zahlenbeispiel

Aufkonzentration

Es soll eine Lösung eines Salzes durch weitere Zugabe von Salz auf eine bestimmte höhere Konzentration gebracht werden.
Dazu muss jeweils die Dichte der Lösung bei den betreffenden Konzentrationen bekannt sein. (z.B. aus Dichtetabellen)

x = v₀ ·	d₀·C - D·c₀

	D-C

v = (v₀·d₀+x) / D

  v0 = Anfangsvolumen in ml
  c0 = Anfangskonzentration in g/ml
  d0 = Anfangsdichte (g/ml)
  D  = Dichte der Ziellösung
  C  = Zielkonzentration in g/ml
  x  = zuzugebende Menge in Gramm
  v  = erhaltenes Volumen in ml

 Zahlenbeispiel

Beispiel: Es soll aus 1ml Wasser eine 6M GdmCl-Lösung gemacht werden:
C = 0.573 g/ml, D = 1.14 g/ml, c0=0, d0=1

Example: to make from 1ml water a solution of 6M GdmCl use this parameters:
C = 0.573 g/ml, D = 1.14 g/ml, c0=0, d0=1

Astronomie

Gravitation (Schwerkraft)

F_g = G ·	m₁·m₂

	r²

G =	Gravitationskonstante (6.67e-11)
m₁, m₂ =	Massen von 2 Körpern (punktförmig oder Kugeln)
r =	Abstand der Schwerpunkte von m₁ und m₂
	Zahlenbeispiele

Drittes Keplersche Gesetz

A³	= k·(m₁+m₂)

T²

A =	Mittlerer Abstand des Planeten zur Sonne
T =	Umlaufzeit
m₁ =	Masse der Sonne
m₂ =	Masse des Planeten (kann im Sonnensystem vernachlässigt werden)
k =	Konstante = G/(4²)
	im Sonnensystem kann man alle Unbekannten gleich 1 setzen,
	also m₁=1 Sonnenmasse, AE=1, T_E=1 Jahr,
	dann wird k=1 und wir können alle Planetendistanzen ausrechnen.
	Zahlenbeispiel

Julianisches Datum (JD)

 JD = Anzahl Tage seit 4713 vor Christus

bis und mit 4.Oktober 1582: B = int((y+4716)/4) - 1181
        ab 15.Oktober 1582: B = int(y/400)-int(y/100)+int(y/4)
(Wegen der Gregoranischen Kalenderreform folgte auf den 4.Okt. sogleich der 15.)

JD = 365·y - 679004 + B + int(30.6·m) + d + h/24 + 2400000.5

MJD = JD - 2400000.5 (Modifiziertes Julianisches Datum)

 h = Tageszeit in Stunden
 d = Tag
 Y = für Jahre vor Christus: Y = -1 - Jahreszahl
     für Jahre nach Christus: Y = Jahreszahl
 wenn Monat<=2 : y = Y-1   m = Monat+13
          sonst: y = Y     m = Monat+1
 int() = Abrundung auf ganze Zahl

 Wer die Formel verstehen will sollte einige Beispiele von Hand ausrechnen.
 Beispiel: 24.Dez. 1 vor Chr. um 20:15
           h=20.25  d=24  Y=0  y=0  m=13  int(30.6*m)=397

Man kann die Formel aber natürlich auch verwenden ohne genau zu verstehen wie sie funktioniert: Zahlenbeispiele

Das "Julianische Datum" wird auch als "Julianischer Tag" bezeichnet (englisch "julian day"). Einige Leute halten diese Bezeichnung für treffender.

Mathematik

Quadratische Gleichung

Gleichung:		a·x²+b·x+c=0

Lösung:	x =	-b ± sqrt(b²-4·a·c)

		2·a

 Zahlenbeispiel mit Java

Drehungs-Formel

x₂ = cos(w)·x₁ - sin(w)·y₁

y₂ = sin(w)·x₁ + cos(w)·y₁

w =	Drehwinkel
x₂, y₂ =	um w im Gegenuhrzeigersinn gedrehter Punkt
	Zahlenbeispiel mit Java

Gauss-Kurve

Die Gausskurve (auch Glockenkurve genannt) kommt oft in Wahrscheinlichkeitsrechnungen vor.

y = k₁·e^(-k₂·x²) + y₀

Als Normalverteilung (Gauss-Verteilung) wird die Formel auch so geschrieben:

y =	1	exp(	(x-µ)²	)

	·sqrt(2π)		2²

µ =	Erwartungswert
=	Standardabweichung

Bezier- und Spline-Kurven

Eine Bezier-Kurve wird durch 4 Stützpunkte beschrieben.
Rekursive Definition:
 Von den 4 Stützpunkten A B C D bilden A und D die beiden Endpunkte.
 Man kann 2 kleinere Bezierkurven bilden:
 A' = A
 B' = (A+B)/2           also die Mitte zwischen A und B
 C' = (A+2B+C)/4        Mitte zwischen B' und der Mitte von B und C
 D' = (A+3B+3C+D)/8     Mitte zwischen C' und B''
 und
 A'' = D'
 B'' = (B+2C+D)/4       Mitte zwischen C' und der Mitte von B und C
 C'' = (C+D)/2          Mitte zwischen C und D
 D'' = D

 Die Menge aller A und D Punkte ergeben dann die Bezierkurve.

An der Uni-Oldenburg wurden Bezier-Kurven einst ausführlich beschrieben. Leider nicht mehr zu finden. Die dort angegebene Formel ist damit verloren gegangen.

Formeln zu Spline-Kurven sind hier zu finden: B-Spline , B-Spline+andere

Koordinaten-Umrechnungen

Aus Geographischen Koordinaten zweier Orte den Abstand berechnen. Dies ist eine Näherungsformel (Erde wird als Kugel betrachtet). Für genaue Werte sollte deshalb R je nach Geographischer Breite angepasst werden.

Distanz = R*acos(sin(latb)*sin(lata)+cos(latb)*cos(lata)*cos(lonb-lona))

R =	Erdradius (6380km)
lata, lona =	Koordinaten des einen Punktes (Breite und Länge in Grad)
latb, lonb =	Koordinaten des zweiten Punktes
	Zahlenbeispiel mit Java

Rechnen mit Einheiten

Zeit: s=Sekunde, min=Minute, h=Stunde
Strecke: m=Meter, km=Kilometer (k=Vorsilbe)
Geschwindigkeit: 1 m/s = 3.6 km/h
Beschleunigung: m/s²
Kraft: N = mkg/s²
Energie: J = Ws = m²kg/s²

Energie-Einheit	Symbol	Wert in Joule
Wattsekunde	Ws	1
Kilokalorie	kcal	4186.8
Elektronenvolt	eV	1.602*10^-19
Erg	Erg	10^-7
Kilowattstunde	kWh	3.6*10⁶

Leistung: W = J/s = m²kg/s³

Leistungs-Einheit	Symbol	Wert in Watt
Joule pro sekunde	J/s	1
Kilowatt	kW	1000
Pferdestärke	PS	735.5

Druck: 1 mbar = 100 Pa = 100 N/m²

Druck-Einheit	Symbol	Wert in mbar
Pascal	Pa	0.01
Torr	Torr	1.3329
PSI	PSI	68.93

Vorsilben bei Einheiten

h = hekto = 100 , k = kilo = 1000 , M = Mega = 10⁶ , G = Giga = 10⁹ , T = Tera = 10¹² , P = Peta = 10¹⁵ , E = Exa = 10¹⁸
d = dezi = 0.1 , c = centi = 0.01 , m = milli = 0.001 , µ = micro = 10^-6 , n = nano = 10^-9 , p = pico = 10^-12 , f = femto = 10^-15 , a = atto = 10^-18

Magische Zahlen

Boltzmann-Konstante k=R/N_A=1.38066·10^-23 J/K
Plancksches Wirkungsquantum h=6.626·10^-34 m²kg/s
Lichtgeschwindigkeit c=299'792'458 m/s
Avogadro-Konstante N_A=6.022142·10²³ Teilchen/mol (ist oft auch als "Loschmidtsche Zahl" oder N_L anzutreffen)
Loschmidt-Zahl L = N_A/v₀ = 2.686777·10¹⁹ Teilchen/cm³ (neue Definition seit 1986 nach CODATA)
Gaskonstante R=8.31447 J/mol/K = 83.1447 mbar*l/mol/K
Molvolumen v₀=22.414 l/mol
Erdbeschleunigung g=9.80665 m/s²
Gravitationskonstante G=6.67259·10^-11
Absoluter Nullpunkt: -273.15^oC = 0 K (Kelvin)
Elementarladung e=1.602176·10^-19 C
Faraday-Konstante F=N_A·e=96485.34 C/mol

Anhang

Stichwort-Suche

Avogadrozahl
Barometer , Beer , Beschleunigung , Brechung
Drehung , Optische Drehung
Einheiten , Energie
Farad , Faraday
Gasgesetz , Gausskurve , Gravitation
Isotop
Karplus
Lambert , Leistung , Loschmidt , Luftdruck
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